\(\int (c+d x)^3 \cot ^3(a+b x) \, dx\) [179]

Optimal result

Integrand size = 16, antiderivative size = 256 \[ \int (c+d x)^3 \cot ^3(a+b x) \, dx=-\frac {3 i d (c+d x)^2}{2 b^2}-\frac {(c+d x)^3}{2 b}+\frac {i (c+d x)^4}{4 d}-\frac {3 d (c+d x)^2 \cot (a+b x)}{2 b^2}-\frac {(c+d x)^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}+\frac {3 d^2 (c+d x) \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {(c+d x)^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {3 i d^3 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}+\frac {3 i d (c+d x)^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {3 d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}-\frac {3 i d^3 \operatorname {PolyLog}\left (4,e^{2 i (a+b x)}\right )}{4 b^4} \]

[Out]

-3/2*I*d*(d*x+c)^2/b^2-1/2*(d*x+c)^3/b+1/4*I*(d*x+c)^4/d-3/2*d*(d*x+c)^2*cot(b*x+a)/b^2-1/2*(d*x+c)^3*cot(b*x+
a)^2/b+3*d^2*(d*x+c)*ln(1-exp(2*I*(b*x+a)))/b^3-(d*x+c)^3*ln(1-exp(2*I*(b*x+a)))/b-3/2*I*d^3*polylog(2,exp(2*I
*(b*x+a)))/b^4+3/2*I*d*(d*x+c)^2*polylog(2,exp(2*I*(b*x+a)))/b^2-3/2*d^2*(d*x+c)*polylog(3,exp(2*I*(b*x+a)))/b
^3-3/4*I*d^3*polylog(4,exp(2*I*(b*x+a)))/b^4

Rubi [A] (verified)

Time = 0.42 (sec) , antiderivative size = 256, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 13, number of rules used = 10, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.625, Rules used = {3801, 3798, 2221, 2317, 2438, 32, 2611, 6744, 2320, 6724} \[ \int (c+d x)^3 \cot ^3(a+b x) \, dx=-\frac {3 i d^3 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}-\frac {3 i d^3 \operatorname {PolyLog}\left (4,e^{2 i (a+b x)}\right )}{4 b^4}-\frac {3 d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}+\frac {3 d^2 (c+d x) \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}+\frac {3 i d (c+d x)^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {3 d (c+d x)^2 \cot (a+b x)}{2 b^2}-\frac {(c+d x)^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {(c+d x)^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}-\frac {3 i d (c+d x)^2}{2 b^2}-\frac {(c+d x)^3}{2 b}+\frac {i (c+d x)^4}{4 d} \]

[In]

Int[(c + d*x)^3*Cot[a + b*x]^3,x]

[Out]

(((-3*I)/2)*d*(c + d*x)^2)/b^2 - (c + d*x)^3/(2*b) + ((I/4)*(c + d*x)^4)/d - (3*d*(c + d*x)^2*Cot[a + b*x])/(2
*b^2) - ((c + d*x)^3*Cot[a + b*x]^2)/(2*b) + (3*d^2*(c + d*x)*Log[1 - E^((2*I)*(a + b*x))])/b^3 - ((c + d*x)^3
*Log[1 - E^((2*I)*(a + b*x))])/b - (((3*I)/2)*d^3*PolyLog[2, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^4 + (((3*I)/2)*d*(c + d*x
)^2*PolyLog[2, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^2 - (3*d^2*(c + d*x)*PolyLog[3, E^((2*I)*(a + b*x))])/(2*b^3) - (((3*I)
/4)*d^3*PolyLog[4, E^((2*I)*(a + b*x))])/b^4

Rule 32

Int[((a_.) + (b_.)*(x_))^(m_), x_Symbol] :> Simp[(a + b*x)^(m + 1)/(b*(m + 1)), x] /; FreeQ[{a, b, m}, x] && N
eQ[m, -1]

Rule 2221

Int[(((F_)^((g_.)*((e_.) + (f_.)*(x_))))^(n_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.))/((a_) + (b_.)*((F_)^((g_.)*((e_.) +
(f_.)*(x_))))^(n_.)), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^m/(b*f*g*n*Log[F]))*Log[1 + b*((F^(g*(e + f*x)))^n/a)], x]
- Dist[d*(m/(b*f*g*n*Log[F])), Int[(c + d*x)^(m - 1)*Log[1 + b*((F^(g*(e + f*x)))^n/a)], x], x] /; FreeQ[{F,
a, b, c, d, e, f, g, n}, x] && IGtQ[m, 0]

Rule 2317

Int[Log[(a_) + (b_.)*((F_)^((e_.)*((c_.) + (d_.)*(x_))))^(n_.)], x_Symbol] :> Dist[1/(d*e*n*Log[F]), Subst[Int
[Log[a + b*x]/x, x], x, (F^(e*(c + d*x)))^n], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, n}, x] && GtQ[a, 0]

Rule 2320

Int[u_, x_Symbol] :> With[{v = FunctionOfExponential[u, x]}, Dist[v/D[v, x], Subst[Int[FunctionOfExponentialFu
nction[u, x]/x, x], x, v], x]] /; FunctionOfExponentialQ[u, x] &&  !MatchQ[u, (w_)*((a_.)*(v_)^(n_))^(m_) /; F
reeQ[{a, m, n}, x] && IntegerQ[m*n]] &&  !MatchQ[u, E^((c_.)*((a_.) + (b_.)*x))*(F_)[v_] /; FreeQ[{a, b, c}, x
] && InverseFunctionQ[F[x]]]

Rule 2438

Int[Log[(c_.)*((d_) + (e_.)*(x_)^(n_.))]/(x_), x_Symbol] :> Simp[-PolyLog[2, (-c)*e*x^n]/n, x] /; FreeQ[{c, d,
e, n}, x] && EqQ[c*d, 1]

Rule 2611

Int[Log[1 + (e_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(n_.)]*((f_.) + (g_.)*(x_))^(m_.), x_Symbol] :> Simp[(-(
f + g*x)^m)*(PolyLog[2, (-e)*(F^(c*(a + b*x)))^n]/(b*c*n*Log[F])), x] + Dist[g*(m/(b*c*n*Log[F])), Int[(f + g*
x)^(m - 1)*PolyLog[2, (-e)*(F^(c*(a + b*x)))^n], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, e, f, g, n}, x] && GtQ[m, 0]

Rule 3798

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*tan[(e_.) + Pi*(k_.) + (f_.)*(x_)], x_Symbol] :> Simp[I*((c + d*x)^(m + 1)/(d*(
m + 1))), x] - Dist[2*I, Int[(c + d*x)^m*E^(2*I*k*Pi)*(E^(2*I*(e + f*x))/(1 + E^(2*I*k*Pi)*E^(2*I*(e + f*x))))
, x], x] /; FreeQ[{c, d, e, f}, x] && IntegerQ[4*k] && IGtQ[m, 0]

Rule 3801

Int[((c_.) + (d_.)*(x_))^(m_.)*((b_.)*tan[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Simp[b*(c + d*x)^m*((b*Tan[e
+ f*x])^(n - 1)/(f*(n - 1))), x] + (-Dist[b*d*(m/(f*(n - 1))), Int[(c + d*x)^(m - 1)*(b*Tan[e + f*x])^(n - 1)
, x], x] - Dist[b^2, Int[(c + d*x)^m*(b*Tan[e + f*x])^(n - 2), x], x]) /; FreeQ[{b, c, d, e, f}, x] && GtQ[n,
1] && GtQ[m, 0]

Rule 6724

Int[PolyLog[n_, (c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))^(p_.)]/((d_.) + (e_.)*(x_)), x_Symbol] :> Simp[PolyLog[n + 1, c*(a
+ b*x)^p]/(e*p), x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, n, p}, x] && EqQ[b*d, a*e]

Rule 6744

Int[((e_.) + (f_.)*(x_))^(m_.)*PolyLog[n_, (d_.)*((F_)^((c_.)*((a_.) + (b_.)*(x_))))^(p_.)], x_Symbol] :> Simp
[(e + f*x)^m*(PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p]/(b*c*p*Log[F])), x] - Dist[f*(m/(b*c*p*Log[F])), Int[(e +
f*x)^(m - 1)*PolyLog[n + 1, d*(F^(c*(a + b*x)))^p], x], x] /; FreeQ[{F, a, b, c, d, e, f, n, p}, x] && GtQ[m,
0]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = -\frac {(c+d x)^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}+\frac {(3 d) \int (c+d x)^2 \cot ^2(a+b x) \, dx}{2 b}-\int (c+d x)^3 \cot (a+b x) \, dx \\ & = \frac {i (c+d x)^4}{4 d}-\frac {3 d (c+d x)^2 \cot (a+b x)}{2 b^2}-\frac {(c+d x)^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}+2 i \int \frac {e^{2 i (a+b x)} (c+d x)^3}{1-e^{2 i (a+b x)}} \, dx-\frac {(3 d) \int (c+d x)^2 \, dx}{2 b}+\frac {\left (3 d^2\right ) \int (c+d x) \cot (a+b x) \, dx}{b^2} \\ & = -\frac {3 i d (c+d x)^2}{2 b^2}-\frac {(c+d x)^3}{2 b}+\frac {i (c+d x)^4}{4 d}-\frac {3 d (c+d x)^2 \cot (a+b x)}{2 b^2}-\frac {(c+d x)^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}-\frac {(c+d x)^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}+\frac {(3 d) \int (c+d x)^2 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right ) \, dx}{b}-\frac {\left (6 i d^2\right ) \int \frac {e^{2 i (a+b x)} (c+d x)}{1-e^{2 i (a+b x)}} \, dx}{b^2} \\ & = -\frac {3 i d (c+d x)^2}{2 b^2}-\frac {(c+d x)^3}{2 b}+\frac {i (c+d x)^4}{4 d}-\frac {3 d (c+d x)^2 \cot (a+b x)}{2 b^2}-\frac {(c+d x)^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}+\frac {3 d^2 (c+d x) \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {(c+d x)^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}+\frac {3 i d (c+d x)^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {\left (3 i d^2\right ) \int (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^2}-\frac {\left (3 d^3\right ) \int \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right ) \, dx}{b^3} \\ & = -\frac {3 i d (c+d x)^2}{2 b^2}-\frac {(c+d x)^3}{2 b}+\frac {i (c+d x)^4}{4 d}-\frac {3 d (c+d x)^2 \cot (a+b x)}{2 b^2}-\frac {(c+d x)^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}+\frac {3 d^2 (c+d x) \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {(c+d x)^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}+\frac {3 i d (c+d x)^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {3 d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}+\frac {\left (3 i d^3\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {\log (1-x)}{x} \, dx,x,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}+\frac {\left (3 d^3\right ) \int \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{2 i (a+b x)}\right ) \, dx}{2 b^3} \\ & = -\frac {3 i d (c+d x)^2}{2 b^2}-\frac {(c+d x)^3}{2 b}+\frac {i (c+d x)^4}{4 d}-\frac {3 d (c+d x)^2 \cot (a+b x)}{2 b^2}-\frac {(c+d x)^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}+\frac {3 d^2 (c+d x) \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {(c+d x)^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {3 i d^3 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}+\frac {3 i d (c+d x)^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {3 d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}-\frac {\left (3 i d^3\right ) \text {Subst}\left (\int \frac {\operatorname {PolyLog}(3,x)}{x} \, dx,x,e^{2 i (a+b x)}\right )}{4 b^4} \\ & = -\frac {3 i d (c+d x)^2}{2 b^2}-\frac {(c+d x)^3}{2 b}+\frac {i (c+d x)^4}{4 d}-\frac {3 d (c+d x)^2 \cot (a+b x)}{2 b^2}-\frac {(c+d x)^3 \cot ^2(a+b x)}{2 b}+\frac {3 d^2 (c+d x) \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b^3}-\frac {(c+d x)^3 \log \left (1-e^{2 i (a+b x)}\right )}{b}-\frac {3 i d^3 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^4}+\frac {3 i d (c+d x)^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^2}-\frac {3 d^2 (c+d x) \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{2 i (a+b x)}\right )}{2 b^3}-\frac {3 i d^3 \operatorname {PolyLog}\left (4,e^{2 i (a+b x)}\right )}{4 b^4} \\ \end{align*}

Mathematica [B] (warning: unable to verify)

Both result and optimal contain complex but leaf count is larger than twice the leaf count of optimal. \(1032\) vs. \(2(256)=512\).

Time = 7.00 (sec) , antiderivative size = 1032, normalized size of antiderivative = 4.03 \[ \int (c+d x)^3 \cot ^3(a+b x) \, dx=-\frac {1}{4} x \left (4 c^3+6 c^2 d x+4 c d^2 x^2+d^3 x^3\right ) \cot (a)-\frac {(c+d x)^3 \csc ^2(a+b x)}{2 b}+\frac {c d^2 e^{i a} \csc (a) \left (2 b^3 e^{-2 i a} x^3+3 i b^2 \left (1-e^{-2 i a}\right ) x^2 \log \left (1-e^{-i (a+b x)}\right )+3 i b^2 \left (1-e^{-2 i a}\right ) x^2 \log \left (1+e^{-i (a+b x)}\right )-6 b \left (1-e^{-2 i a}\right ) x \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{-i (a+b x)}\right )-6 b \left (1-e^{-2 i a}\right ) x \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{-i (a+b x)}\right )+6 i \left (1-e^{-2 i a}\right ) \operatorname {PolyLog}\left (3,-e^{-i (a+b x)}\right )+6 i \left (1-e^{-2 i a}\right ) \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{-i (a+b x)}\right )\right )}{2 b^3}+\frac {d^3 e^{i a} \csc (a) \left (b^4 e^{-2 i a} x^4+2 i b^3 \left (1-e^{-2 i a}\right ) x^3 \log \left (1-e^{-i (a+b x)}\right )+2 i b^3 \left (1-e^{-2 i a}\right ) x^3 \log \left (1+e^{-i (a+b x)}\right )-6 b^2 \left (1-e^{-2 i a}\right ) x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,-e^{-i (a+b x)}\right )-6 b^2 \left (1-e^{-2 i a}\right ) x^2 \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{-i (a+b x)}\right )+12 i b \left (1-e^{-2 i a}\right ) x \operatorname {PolyLog}\left (3,-e^{-i (a+b x)}\right )+12 i b \left (1-e^{-2 i a}\right ) x \operatorname {PolyLog}\left (3,e^{-i (a+b x)}\right )+12 \left (1-e^{-2 i a}\right ) \operatorname {PolyLog}\left (4,-e^{-i (a+b x)}\right )+12 \left (1-e^{-2 i a}\right ) \operatorname {PolyLog}\left (4,e^{-i (a+b x)}\right )\right )}{4 b^4}-\frac {c^3 \csc (a) (-b x \cos (a)+\log (\cos (b x) \sin (a)+\cos (a) \sin (b x)) \sin (a))}{b \left (\cos ^2(a)+\sin ^2(a)\right )}+\frac {3 c d^2 \csc (a) (-b x \cos (a)+\log (\cos (b x) \sin (a)+\cos (a) \sin (b x)) \sin (a))}{b^3 \left (\cos ^2(a)+\sin ^2(a)\right )}+\frac {3 \csc (a) \csc (a+b x) \left (c^2 d \sin (b x)+2 c d^2 x \sin (b x)+d^3 x^2 \sin (b x)\right )}{2 b^2}+\frac {3 c^2 d \csc (a) \sec (a) \left (b^2 e^{i \arctan (\tan (a))} x^2+\frac {\left (i b x (-\pi +2 \arctan (\tan (a)))-\pi \log \left (1+e^{-2 i b x}\right )-2 (b x+\arctan (\tan (a))) \log \left (1-e^{2 i (b x+\arctan (\tan (a)))}\right )+\pi \log (\cos (b x))+2 \arctan (\tan (a)) \log (\sin (b x+\arctan (\tan (a))))+i \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (b x+\arctan (\tan (a)))}\right )\right ) \tan (a)}{\sqrt {1+\tan ^2(a)}}\right )}{2 b^2 \sqrt {\sec ^2(a) \left (\cos ^2(a)+\sin ^2(a)\right )}}-\frac {3 d^3 \csc (a) \sec (a) \left (b^2 e^{i \arctan (\tan (a))} x^2+\frac {\left (i b x (-\pi +2 \arctan (\tan (a)))-\pi \log \left (1+e^{-2 i b x}\right )-2 (b x+\arctan (\tan (a))) \log \left (1-e^{2 i (b x+\arctan (\tan (a)))}\right )+\pi \log (\cos (b x))+2 \arctan (\tan (a)) \log (\sin (b x+\arctan (\tan (a))))+i \operatorname {PolyLog}\left (2,e^{2 i (b x+\arctan (\tan (a)))}\right )\right ) \tan (a)}{\sqrt {1+\tan ^2(a)}}\right )}{2 b^4 \sqrt {\sec ^2(a) \left (\cos ^2(a)+\sin ^2(a)\right )}} \]

[In]

Integrate[(c + d*x)^3*Cot[a + b*x]^3,x]

[Out]

-1/4*(x*(4*c^3 + 6*c^2*d*x + 4*c*d^2*x^2 + d^3*x^3)*Cot[a]) - ((c + d*x)^3*Csc[a + b*x]^2)/(2*b) + (c*d^2*E^(I
*a)*Csc[a]*((2*b^3*x^3)/E^((2*I)*a) + (3*I)*b^2*(1 - E^((-2*I)*a))*x^2*Log[1 - E^((-I)*(a + b*x))] + (3*I)*b^2
*(1 - E^((-2*I)*a))*x^2*Log[1 + E^((-I)*(a + b*x))] - 6*b*(1 - E^((-2*I)*a))*x*PolyLog[2, -E^((-I)*(a + b*x))]
- 6*b*(1 - E^((-2*I)*a))*x*PolyLog[2, E^((-I)*(a + b*x))] + (6*I)*(1 - E^((-2*I)*a))*PolyLog[3, -E^((-I)*(a +
b*x))] + (6*I)*(1 - E^((-2*I)*a))*PolyLog[3, E^((-I)*(a + b*x))]))/(2*b^3) + (d^3*E^(I*a)*Csc[a]*((b^4*x^4)/E
^((2*I)*a) + (2*I)*b^3*(1 - E^((-2*I)*a))*x^3*Log[1 - E^((-I)*(a + b*x))] + (2*I)*b^3*(1 - E^((-2*I)*a))*x^3*L
og[1 + E^((-I)*(a + b*x))] - 6*b^2*(1 - E^((-2*I)*a))*x^2*PolyLog[2, -E^((-I)*(a + b*x))] - 6*b^2*(1 - E^((-2*
I)*a))*x^2*PolyLog[2, E^((-I)*(a + b*x))] + (12*I)*b*(1 - E^((-2*I)*a))*x*PolyLog[3, -E^((-I)*(a + b*x))] + (1
2*I)*b*(1 - E^((-2*I)*a))*x*PolyLog[3, E^((-I)*(a + b*x))] + 12*(1 - E^((-2*I)*a))*PolyLog[4, -E^((-I)*(a + b*
x))] + 12*(1 - E^((-2*I)*a))*PolyLog[4, E^((-I)*(a + b*x))]))/(4*b^4) - (c^3*Csc[a]*(-(b*x*Cos[a]) + Log[Cos[b
*x]*Sin[a] + Cos[a]*Sin[b*x]]*Sin[a]))/(b*(Cos[a]^2 + Sin[a]^2)) + (3*c*d^2*Csc[a]*(-(b*x*Cos[a]) + Log[Cos[b*
x]*Sin[a] + Cos[a]*Sin[b*x]]*Sin[a]))/(b^3*(Cos[a]^2 + Sin[a]^2)) + (3*Csc[a]*Csc[a + b*x]*(c^2*d*Sin[b*x] + 2
*c*d^2*x*Sin[b*x] + d^3*x^2*Sin[b*x]))/(2*b^2) + (3*c^2*d*Csc[a]*Sec[a]*(b^2*E^(I*ArcTan[Tan[a]])*x^2 + ((I*b*
x*(-Pi + 2*ArcTan[Tan[a]]) - Pi*Log[1 + E^((-2*I)*b*x)] - 2*(b*x + ArcTan[Tan[a]])*Log[1 - E^((2*I)*(b*x + Arc
Tan[Tan[a]]))] + Pi*Log[Cos[b*x]] + 2*ArcTan[Tan[a]]*Log[Sin[b*x + ArcTan[Tan[a]]]] + I*PolyLog[2, E^((2*I)*(b
*x + ArcTan[Tan[a]]))])*Tan[a])/Sqrt[1 + Tan[a]^2]))/(2*b^2*Sqrt[Sec[a]^2*(Cos[a]^2 + Sin[a]^2)]) - (3*d^3*Csc
[a]*Sec[a]*(b^2*E^(I*ArcTan[Tan[a]])*x^2 + ((I*b*x*(-Pi + 2*ArcTan[Tan[a]]) - Pi*Log[1 + E^((-2*I)*b*x)] - 2*(
b*x + ArcTan[Tan[a]])*Log[1 - E^((2*I)*(b*x + ArcTan[Tan[a]]))] + Pi*Log[Cos[b*x]] + 2*ArcTan[Tan[a]]*Log[Sin[
b*x + ArcTan[Tan[a]]]] + I*PolyLog[2, E^((2*I)*(b*x + ArcTan[Tan[a]]))])*Tan[a])/Sqrt[1 + Tan[a]^2]))/(2*b^4*S
qrt[Sec[a]^2*(Cos[a]^2 + Sin[a]^2)])

Maple [B] (verified)

Both result and optimal contain complex but leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 1202 vs. \(2 (221 ) = 442\).

Time = 1.33 (sec) , antiderivative size = 1203, normalized size of antiderivative = 4.70

method	result	size
risch	\(\text {Expression too large to display}\)	\(1203\)

[In]

int((d*x+c)^3*cot(b*x+a)^3,x,method=_RETURNVERBOSE)

[Out]

3*d^2/b^3*c*ln(exp(I*(b*x+a))+1)-6*d^2/b^3*c*ln(exp(I*(b*x+a)))+3/2*I/b^4*d^3*a^4-6*I/b^4*d^3*polylog(4,exp(I*
(b*x+a)))+3/2*I*d*c^2*x^2+(2*b*d^3*x^3*exp(2*I*(b*x+a))-3*I*d^3*x^2*exp(2*I*(b*x+a))+6*b*c*d^2*x^2*exp(2*I*(b*
x+a))-6*I*c*d^2*x*exp(2*I*(b*x+a))+6*b*c^2*d*x*exp(2*I*(b*x+a))-3*I*c^2*d*exp(2*I*(b*x+a))+3*I*d^3*x^2+2*b*c^3
*exp(2*I*(b*x+a))+6*I*c*d^2*x+3*I*c^2*d)/b^2/(exp(2*I*(b*x+a))-1)^2-I*c^3*x-1/4*I/d*c^4+3*d^2/b^3*c*ln(exp(I*(
b*x+a))-1)+3*d^3/b^3*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x+3*d^3/b^4*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a+3*d^3/b^3*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x+
6*d^3/b^4*a*ln(exp(I*(b*x+a)))-3*d^3/b^4*a*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-3*I*d^3/b^2*x^2-3*I*d^3/b^4*a^2-3*I*d^3/b^4*po
lylog(2,-exp(I*(b*x+a)))-3*I*d^3*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))/b^4-6*I*d^3*polylog(4,-exp(I*(b*x+a)))/b^4-6*I*d^3/
b^3*x*a+1/4*I*d^3*x^4+I*d^2*c*x^3+6/b^3*c*d^2*a^2*ln(exp(I*(b*x+a)))-3/b^3*c*d^2*a^2*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-6/b^
2*c^2*d*a*ln(exp(I*(b*x+a)))+3/b^2*c^2*d*a*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-3/b^2*d*c^2*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a+3/b^3*c*d^2
*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a^2-1/b*c^3*ln(exp(I*(b*x+a))+1)+2/b*c^3*ln(exp(I*(b*x+a)))-1/b*c^3*ln(exp(I*(b*x+a))-1)
+2*I/b^3*d^3*a^3*x+3*I/b^2*d*c^2*a^2+3*I/b^2*d*c^2*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))+3*I/b^2*d*c^2*polylog(2,-exp(I*(b
*x+a)))-4*I/b^3*c*d^2*a^3+3*I/b^2*d^3*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*x^2+3*I/b^2*d^3*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))*x^2
-6*I/b^2*c*d^2*a^2*x+6*I/b^2*c*d^2*polylog(2,exp(I*(b*x+a)))*x+6*I/b^2*c*d^2*polylog(2,-exp(I*(b*x+a)))*x+6*I/
b*d*c^2*x*a-3/b*d*c^2*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x-3/b*d*c^2*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x-3/b*c*d^2*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x
^2-3/b*c*d^2*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x^2-2/b^4*d^3*a^3*ln(exp(I*(b*x+a)))+1/b^4*d^3*a^3*ln(exp(I*(b*x+a))-1)-1/b^
4*d^3*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*a^3-6/b^3*d^3*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))*x-6/b^3*d^3*polylog(3,-exp(I*(b*x+a)))*x-1/
b*d^3*ln(1-exp(I*(b*x+a)))*x^3-1/b*d^3*ln(exp(I*(b*x+a))+1)*x^3-6/b^3*c*d^2*polylog(3,exp(I*(b*x+a)))-6/b^3*c*
d^2*polylog(3,-exp(I*(b*x+a)))

Fricas [B] (verification not implemented)

Both result and optimal contain complex but leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 1139 vs. \(2 (214) = 428\).

Time = 0.27 (sec) , antiderivative size = 1139, normalized size of antiderivative = 4.45 \[ \int (c+d x)^3 \cot ^3(a+b x) \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((d*x+c)^3*cot(b*x+a)^3,x, algorithm="fricas")

[Out]

1/8*(8*b^3*d^3*x^3 + 24*b^3*c*d^2*x^2 + 24*b^3*c^2*d*x + 8*b^3*c^3 - 6*(I*b^2*d^3*x^2 + 2*I*b^2*c*d^2*x + I*b^
2*c^2*d - I*d^3 + (-I*b^2*d^3*x^2 - 2*I*b^2*c*d^2*x - I*b^2*c^2*d + I*d^3)*cos(2*b*x + 2*a))*dilog(cos(2*b*x +
2*a) + I*sin(2*b*x + 2*a)) - 6*(-I*b^2*d^3*x^2 - 2*I*b^2*c*d^2*x - I*b^2*c^2*d + I*d^3 + (I*b^2*d^3*x^2 + 2*I
*b^2*c*d^2*x + I*b^2*c^2*d - I*d^3)*cos(2*b*x + 2*a))*dilog(cos(2*b*x + 2*a) - I*sin(2*b*x + 2*a)) + 4*(b^3*c^
3 - 3*a*b^2*c^2*d + 3*(a^2 - 1)*b*c*d^2 - (a^3 - 3*a)*d^3 - (b^3*c^3 - 3*a*b^2*c^2*d + 3*(a^2 - 1)*b*c*d^2 - (
a^3 - 3*a)*d^3)*cos(2*b*x + 2*a))*log(-1/2*cos(2*b*x + 2*a) + 1/2*I*sin(2*b*x + 2*a) + 1/2) + 4*(b^3*c^3 - 3*a
*b^2*c^2*d + 3*(a^2 - 1)*b*c*d^2 - (a^3 - 3*a)*d^3 - (b^3*c^3 - 3*a*b^2*c^2*d + 3*(a^2 - 1)*b*c*d^2 - (a^3 - 3
*a)*d^3)*cos(2*b*x + 2*a))*log(-1/2*cos(2*b*x + 2*a) - 1/2*I*sin(2*b*x + 2*a) + 1/2) + 4*(b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*
c*d^2*x^2 + 3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + (a^3 - 3*a)*d^3 + 3*(b^3*c^2*d - b*d^3)*x - (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c
*d^2*x^2 + 3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 + (a^3 - 3*a)*d^3 + 3*(b^3*c^2*d - b*d^3)*x)*cos(2*b*x + 2*a))*log(-c
os(2*b*x + 2*a) + I*sin(2*b*x + 2*a) + 1) + 4*(b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 +
(a^3 - 3*a)*d^3 + 3*(b^3*c^2*d - b*d^3)*x - (b^3*d^3*x^3 + 3*b^3*c*d^2*x^2 + 3*a*b^2*c^2*d - 3*a^2*b*c*d^2 +
(a^3 - 3*a)*d^3 + 3*(b^3*c^2*d - b*d^3)*x)*cos(2*b*x + 2*a))*log(-cos(2*b*x + 2*a) - I*sin(2*b*x + 2*a) + 1) -
3*(I*d^3*cos(2*b*x + 2*a) - I*d^3)*polylog(4, cos(2*b*x + 2*a) + I*sin(2*b*x + 2*a)) - 3*(-I*d^3*cos(2*b*x +
2*a) + I*d^3)*polylog(4, cos(2*b*x + 2*a) - I*sin(2*b*x + 2*a)) + 6*(b*d^3*x + b*c*d^2 - (b*d^3*x + b*c*d^2)*c
os(2*b*x + 2*a))*polylog(3, cos(2*b*x + 2*a) + I*sin(2*b*x + 2*a)) + 6*(b*d^3*x + b*c*d^2 - (b*d^3*x + b*c*d^2
)*cos(2*b*x + 2*a))*polylog(3, cos(2*b*x + 2*a) - I*sin(2*b*x + 2*a)) + 12*(b^2*d^3*x^2 + 2*b^2*c*d^2*x + b^2*
c^2*d)*sin(2*b*x + 2*a))/(b^4*cos(2*b*x + 2*a) - b^4)

Sympy [F]

\[ \int (c+d x)^3 \cot ^3(a+b x) \, dx=\int \left (c + d x\right )^{3} \cot ^{3}{\left (a + b x \right )}\, dx \]

[In]

integrate((d*x+c)**3*cot(b*x+a)**3,x)

[Out]

Integral((c + d*x)**3*cot(a + b*x)**3, x)

Maxima [B] (verification not implemented)

Both result and optimal contain complex but leaf count of result is larger than twice the leaf count of optimal. 3958 vs. \(2 (214) = 428\).

Time = 1.22 (sec) , antiderivative size = 3958, normalized size of antiderivative = 15.46 \[ \int (c+d x)^3 \cot ^3(a+b x) \, dx=\text {Too large to display} \]

[In]

integrate((d*x+c)^3*cot(b*x+a)^3,x, algorithm="maxima")

[Out]

-1/2*(c^3*(1/sin(b*x + a)^2 + log(sin(b*x + a)^2)) - 3*a*c^2*d*(1/sin(b*x + a)^2 + log(sin(b*x + a)^2))/b + 3*
a^2*c*d^2*(1/sin(b*x + a)^2 + log(sin(b*x + a)^2))/b^2 - a^3*d^3*(1/sin(b*x + a)^2 + log(sin(b*x + a)^2))/b^3
- 2*((b*x + a)^4*d^3 + 12*b^2*c^2*d - 24*a*b*c*d^2 + 12*a^2*d^3 + 4*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^3 + 6*(b^2*c^2
*d - 2*a*b*c*d^2 + a^2*d^3)*(b*x + a)^2 - 4*((b*x + a)^3*d^3 - 3*b*c*d^2 + 3*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x
+ a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 - 1)*d^3)*(b*x + a) + ((b*x + a)^3*d^3 - 3*b*c*d^2 + 3*a*d^3 + 3*(b
*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 - 1)*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) - 2*((b*
x + a)^3*d^3 - 3*b*c*d^2 + 3*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 - 1)*
d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - (-I*(b*x + a)^3*d^3 + 3*I*b*c*d^2 - 3*I*a*d^3 + 3*(-I*b*c*d^2 + I*a*d^3)*(b
*x + a)^2 + 3*(-I*b^2*c^2*d + 2*I*a*b*c*d^2 + (-I*a^2 + I)*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) - 2*(I*(b*x + a)^3
*d^3 - 3*I*b*c*d^2 + 3*I*a*d^3 + 3*(I*b*c*d^2 - I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(I*b^2*c^2*d - 2*I*a*b*c*d^2 + (I*a^2
- I)*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x + a), cos(b*x + a) + 1) + 12*(b*c*d^2 - a*d^3 + (b*c*d
^2 - a*d^3)*cos(4*b*x + 4*a) - 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*cos(2*b*x + 2*a) + (I*b*c*d^2 - I*a*d^3)*sin(4*b*x + 4*a) +
2*(-I*b*c*d^2 + I*a*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x + a), cos(b*x + a) - 1) + 4*((b*x + a)^3*d^3 + 3*(
b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 - 1)*d^3)*(b*x + a) + ((b*x + a)^3*d^3 + 3*(b
*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 - 1)*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) - 2*((b*
x + a)^3*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 - 1)*d^3)*(b*x + a))*cos(2*
b*x + 2*a) + (I*(b*x + a)^3*d^3 + 3*(I*b*c*d^2 - I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(I*b^2*c^2*d - 2*I*a*b*c*d^2 + (I*a^
2 - I)*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) + 2*(-I*(b*x + a)^3*d^3 + 3*(-I*b*c*d^2 + I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(-I
*b^2*c^2*d + 2*I*a*b*c*d^2 + (-I*a^2 + I)*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*arctan2(sin(b*x + a), -cos(b*x + a
) + 1) + ((b*x + a)^4*d^3 + 4*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^3 + 6*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 - 2)*d^3)*(b*x
+ a)^2 - 24*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) - 2*((b*x + a)^4*d^3 + 6*b^2*c^2*d - 12*a*b*c*d^2 +
6*a^2*d^3 + 4*(b*c*d^2 - (a - I)*d^3)*(b*x + a)^3 + 6*(b^2*c^2*d - 2*(a - I)*b*c*d^2 + (a^2 - 2*I*a - 1)*d^3)
*(b*x + a)^2 - 12*(-I*b^2*c^2*d + (2*I*a + 1)*b*c*d^2 + (-I*a^2 - a)*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + 12*(b^
2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + (a^2 - 1)*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a) + (b^2*c^2*d - 2*a*b*c
*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + (a^2 - 1)*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) - 2*(b^2*c^2*d - 2*a*
b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + (a^2 - 1)*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (I*b^2*c^2*d - 2
*I*a*b*c*d^2 + I*(b*x + a)^2*d^3 + (I*a^2 - I)*d^3 + 2*(I*b*c*d^2 - I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) + 2*(
-I*b^2*c^2*d + 2*I*a*b*c*d^2 - I*(b*x + a)^2*d^3 + (-I*a^2 + I)*d^3 + 2*(-I*b*c*d^2 + I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(
2*b*x + 2*a))*dilog(-e^(I*b*x + I*a)) + 12*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + (a^2 - 1)*d^3 + 2*(b*c
*d^2 - a*d^3)*(b*x + a) + (b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + (a^2 - 1)*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*
x + a))*cos(4*b*x + 4*a) - 2*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (b*x + a)^2*d^3 + (a^2 - 1)*d^3 + 2*(b*c*d^2 - a*d^3)*
(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) + (I*b^2*c^2*d - 2*I*a*b*c*d^2 + I*(b*x + a)^2*d^3 + (I*a^2 - I)*d^3 + 2*(I*b*c*d^
2 - I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) + 2*(-I*b^2*c^2*d + 2*I*a*b*c*d^2 - I*(b*x + a)^2*d^3 + (-I*a^2 + I)*
d^3 + 2*(-I*b*c*d^2 + I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*dilog(e^(I*b*x + I*a)) + 2*(I*(b*x + a)^3*d^3 - 3*
I*b*c*d^2 + 3*I*a*d^3 + 3*(I*b*c*d^2 - I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(I*b^2*c^2*d - 2*I*a*b*c*d^2 + (I*a^2 - I)*d^3
)*(b*x + a) + (I*(b*x + a)^3*d^3 - 3*I*b*c*d^2 + 3*I*a*d^3 + 3*(I*b*c*d^2 - I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(I*b^2*c^
2*d - 2*I*a*b*c*d^2 + (I*a^2 - I)*d^3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + 2*(-I*(b*x + a)^3*d^3 + 3*I*b*c*d^2 - 3*I
*a*d^3 + 3*(-I*b*c*d^2 + I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(-I*b^2*c^2*d + 2*I*a*b*c*d^2 + (-I*a^2 + I)*d^3)*(b*x + a))
*cos(2*b*x + 2*a) - ((b*x + a)^3*d^3 - 3*b*c*d^2 + 3*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d -
2*a*b*c*d^2 + (a^2 - 1)*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) + 2*((b*x + a)^3*d^3 - 3*b*c*d^2 + 3*a*d^3 + 3*(b*c*d
^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 - 1)*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x
+ a)^2 + sin(b*x + a)^2 + 2*cos(b*x + a) + 1) + 2*(I*(b*x + a)^3*d^3 - 3*I*b*c*d^2 + 3*I*a*d^3 + 3*(I*b*c*d^2
- I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(I*b^2*c^2*d - 2*I*a*b*c*d^2 + (I*a^2 - I)*d^3)*(b*x + a) + (I*(b*x + a)^3*d^3 - 3
*I*b*c*d^2 + 3*I*a*d^3 + 3*(I*b*c*d^2 - I*a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(I*b^2*c^2*d - 2*I*a*b*c*d^2 + (I*a^2 - I)*d^
3)*(b*x + a))*cos(4*b*x + 4*a) + 2*(-I*(b*x + a)^3*d^3 + 3*I*b*c*d^2 - 3*I*a*d^3 + 3*(-I*b*c*d^2 + I*a*d^3)*(b
*x + a)^2 + 3*(-I*b^2*c^2*d + 2*I*a*b*c*d^2 + (-I*a^2 + I)*d^3)*(b*x + a))*cos(2*b*x + 2*a) - ((b*x + a)^3*d^3
- 3*b*c*d^2 + 3*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 - 1)*d^3)*(b*x +
a))*sin(4*b*x + 4*a) + 2*((b*x + a)^3*d^3 - 3*b*c*d^2 + 3*a*d^3 + 3*(b*c*d^2 - a*d^3)*(b*x + a)^2 + 3*(b^2*c^2
*d - 2*a*b*c*d^2 + (a^2 - 1)*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))*log(cos(b*x + a)^2 + sin(b*x + a)^2 - 2*cos(b*x
+ a) + 1) - 24*(d^3*cos(4*b*x + 4*a) - 2*d^3*cos(2*b*x + 2*a) + I*d^3*sin(4*b*x + 4*a) - 2*I*d^3*sin(2*b*x +
2*a) + d^3)*polylog(4, -e^(I*b*x + I*a)) - 24*(d^3*cos(4*b*x + 4*a) - 2*d^3*cos(2*b*x + 2*a) + I*d^3*sin(4*b*x
+ 4*a) - 2*I*d^3*sin(2*b*x + 2*a) + d^3)*polylog(4, e^(I*b*x + I*a)) + 24*(I*b*c*d^2 + I*(b*x + a)*d^3 - I*a*
d^3 + (I*b*c*d^2 + I*(b*x + a)*d^3 - I*a*d^3)*cos(4*b*x + 4*a) + 2*(-I*b*c*d^2 - I*(b*x + a)*d^3 + I*a*d^3)*co
s(2*b*x + 2*a) - (b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(4*b*x + 4*a) + 2*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(
2*b*x + 2*a))*polylog(3, -e^(I*b*x + I*a)) + 24*(I*b*c*d^2 + I*(b*x + a)*d^3 - I*a*d^3 + (I*b*c*d^2 + I*(b*x +
a)*d^3 - I*a*d^3)*cos(4*b*x + 4*a) + 2*(-I*b*c*d^2 - I*(b*x + a)*d^3 + I*a*d^3)*cos(2*b*x + 2*a) - (b*c*d^2 +
(b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(4*b*x + 4*a) + 2*(b*c*d^2 + (b*x + a)*d^3 - a*d^3)*sin(2*b*x + 2*a))*polylog(3, e^
(I*b*x + I*a)) - (-I*(b*x + a)^4*d^3 - 4*(I*b*c*d^2 - I*a*d^3)*(b*x + a)^3 - 6*(I*b^2*c^2*d - 2*I*a*b*c*d^2 +
(I*a^2 - 2*I)*d^3)*(b*x + a)^2 - 24*(-I*b*c*d^2 + I*a*d^3)*(b*x + a))*sin(4*b*x + 4*a) + 2*(-I*(b*x + a)^4*d^3
- 6*I*b^2*c^2*d + 12*I*a*b*c*d^2 - 6*I*a^2*d^3 + 4*(-I*b*c*d^2 + (I*a + 1)*d^3)*(b*x + a)^3 + 6*(-I*b^2*c^2*d
+ 2*(I*a + 1)*b*c*d^2 + (-I*a^2 - 2*a + I)*d^3)*(b*x + a)^2 + 12*(b^2*c^2*d - (2*a - I)*b*c*d^2 + (a^2 - I*a)
*d^3)*(b*x + a))*sin(2*b*x + 2*a))/(-4*I*b^3*cos(4*b*x + 4*a) + 8*I*b^3*cos(2*b*x + 2*a) + 4*b^3*sin(4*b*x + 4
*a) - 8*b^3*sin(2*b*x + 2*a) - 4*I*b^3))/b

Giac [F]

\[ \int (c+d x)^3 \cot ^3(a+b x) \, dx=\int { {\left (d x + c\right )}^{3} \cot \left (b x + a\right )^{3} \,d x } \]

[In]

integrate((d*x+c)^3*cot(b*x+a)^3,x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((d*x + c)^3*cot(b*x + a)^3, x)

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int (c+d x)^3 \cot ^3(a+b x) \, dx=\int {\mathrm {cot}\left (a+b\,x\right )}^3\,{\left (c+d\,x\right )}^3 \,d x \]

[In]

int(cot(a + b*x)^3*(c + d*x)^3,x)

[Out]

int(cot(a + b*x)^3*(c + d*x)^3, x)